CH 04 - 1 detreminant and Trace , Eigenvalues and Eigenvectors

1. Determinant and Trace 

 

Determinant(행렬식) 은 분석을 위한 수학적 도구 이면서 선형연립 방정식의 솔루션임. 

행렬식은  오직 정사각 행렬에서만 정의 됨. 

 

1-1. example of determinant 

   

    이때 a11a22 -a12a21 != 0 인 경우에만  역행렬이 존재함. 

이 경루를 행렬식이라고 함. 

 

n =3 인 경우에는 Sarrus's rule 이라고 알려져 있으며  

이런식으로 나타난다. 

 

 

정리를 하면   정 사각 행렬 T에서 대각 요소 아래부분을 모두 0인 행렬을 Upper-triangular matrix라고 하며 

대각 요소 위에 있는 모든 요소들이 0인 행렬을 lower-triangular matrix라고 한다. 

"행렬식은 upper-triangular matrix와 lower-triangular matrix의 곱이다. "

 

 

이런 평행육면체가 주어 졌을때  행렬 곱을 이용해서 부피를 구할 수 있다. 

 

1- 3 Laplace expansion 

  n=1,2,3 일때 뿐만 아니라  nxn 행렬의 행렬식을 계산하려면 일반화된 알고리즘이 필요하다. 

 

행렬식은 다음과 같은 성질을 가지고 있다. 

 

마지막 3개가 중요하다. 

왜냐하면 복잡한 행렬식을  가우스 소거법을 사용해서 A를 row-echelon form으로 변환하여 dat(A)를 계산 할 수 있다. 

그래서 간편하게 계산 할 수 있다. 

 

 

 

2. Trace 

 

 

detreminant 와 trace를 이요하면 square matrix를 특성화하는 함수로 다루었습니다. 이를 하나로 묶으면 다항식의 term으로 행렬 A를 설명하는 중요한 방정식을 정의 할 수 있다. 

\

 

 

3.Eigenvaluses and Eigenvectors 

 linear mapping 의 eigenvaluse 은 특별한 벡터 집합(eigenvectors, 고유벡터)가 linear mapping에 의해 어떻게 변환되는지 보여 준다.

 

eigenvectors 

eigenvlaue 가 람다 dls  A에 대해 A의 모든 eigenvectors 집합은 subspace를 span 한다. 

람다를 이에 대한 eigenspace라고 하고  A의 모든 eigenvaluses 집합을 A의 eigenspectorum 또는 단순히 spectrum이라고 한다. 

 

A의 eigenvalue를 람다라고 한다면, 이에 대응되는 eigenspace E 람다는 homogeneous한 연립선형방정식의 solution space라고 한다. 

 

eigenvaluse와 eigenvectors에 관한 유용한 속성들을 보여준다. 

 

 

graphical intuition in Two dimensions